Методика преподавания функциональной линии по математическим стандартам

Леонард Эйлер во «Введение в анализ бесконечных» (1748 год) примыкает к определению своего учителя Иоганна Бернулли, но немного уточняет его: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким - либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». И так понимали функцию на протяжение XVIII века. Но Леонард Эйлер постоянно подвергал понятие функции дальнейшему развитию.

В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 году, Л. Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других, таким, образом, что при изменении последних и сами они подвергаются, изменению, то первые называются функциями вторых». На основе этого французский математик С.Ф. Лакруа в своих работах отметил: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних не зависимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому».

Как видно из приведенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением.

К середине XVIII века ученые решили много задач механики. В центре внимания встали и проблемы механики сплошных тел. Простейшей из проблем являлось изучение колебаний струны, закон которой определяется функцией двух переменных u=f (х,t). Между Эйлером и Даламбером вспыхнул спор о толковании найденного ими решения. Первоначальное отклонение струны могло задаваться различными выражениями на различных участках. Отсюда, вытекало, что одним из неизменных вопросов в XVIII веке, связанных с понятием функции был вопрос о том, можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями. В спор вмешался еще один математик – Даниил Бернулли, который считал, что его решение охватывает самый общий случай. Эйлер и Даламбер были с ним не согласны, считая, что два различных выражения не могут задавать одну и ту же функцию. Д. Бернулли и Л. Эйлер не смогли доказать справедливость своей точки зрения. Вследствие этого в конце XVIII века математики давая определение функции, уклонялись от ответа на вопрос о том, как. же она выражается. Французский математик Лакруа писал: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих количеств, называется функцией этих последних, независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить чтобы перейти оm них к первому». То есть Лакруа уже не отождествлял понятие функции с ее аналитическим выражением. Окончательный разрыв между понятиями функции и ее аналитическим выражением произошел в начале XIX века.

Большой вклад в решение этого спора внес французский математик Ж. Фурье. В представленных им мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле Фурье привел первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Стало

ясно, что любая кривая может быть представлена в виде единого аналитического выражения.

Фурье удалось доказать, что любые функции имеющие период период П, можно представить в виде суммы бесконечного ряда. Позднее Фурье и его последователи изучили более общие разложения функций в ряды. Фурье говорил, что неважно, каким аналитическим выражением задана функция, а важно, какие значения принимает функция при заданных значениях аргумента. Таким образом, стало ясно, что приходиться пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом, что стало тормозить расширение понятия функции.

В 1834 году Н.И. Лобачевский писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием которое дает средство испытывать все числа и выбрать одно них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной…».

После длительного уточнения этой идеи немецкий математик П. Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной х (на отрезке а<х<в), если, каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже просто словами».

Таким образом, примерно в середине XIX века после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от аналитического выражения. Главный упор делался на идею соответствия.

Математики конца XIX века подвергли сомнению выражение «переменная величина». Это определение говорило лишь о числах, о соответствии между числами. Общий подход к понятию функции мог возникнуть после того, как в конце XJX века появилось понятие множества.

Тонкости педагогики:

Сущность и содержание понятий «социально-педагогическая помощь» и «социально-педагогическая поддержка» детей, оказавшихся в трудной жизненной ситуации
В научной литературе наиболее часто, а иногда и рядом с понятием экстремальный, употребляется термин «трудная ситуация». Он также не имеет четкого определения. И.Г.Зайнышева считает, что базовым, для того чтобы определить жизненную ситуацию как трудную, является нарушение адаптации к жизни. То есть ...

Опыт организации дошкольного образования в Советский период развития России
В XIX в. в России продолжается создание системы образования, ориентированной на лучшие западные традиции. Отечественная педагогика развивается на основе западных педагогических идей. Вместе с тем со второй четверти XIX в. предпринимаются серьезные попытки выявить и обосновать самобытные черты русск ...

Роль иллюстрационного материала на уроках биологии
В процессе познания окружающей действительности, в процессе обучения участвуют все органы чувств человека. Поэтому принцип наглядности выражает необходимость формирования у учащихся представлений и понятий на основе всех чувственных восприятий предметов и явлений. Однако пропускная способность у ор ...