Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа

Далее следует еще раз обратить внимание учащихся на следующий факт. В определениях четных и нечетных функций в явном виде не указано то, что такие функции имеют область определения, симметричную относительно начала координат, но этот факт часто оказывается полезным при решении задач типа «Докажите, что функция у= sin Öx, не является ни четной, ни нечетной». Используя вышеупомянутый факт и определив, что область определения данной функции не является симметричной относительно начала координат, сразу можно сделать вывод о том, что функция у=sinÖx, действительно, не является ни четной, ни нечетной, не рассматривая соответствующих уравнений.

Так же полезно определять четность функций, заданных кусочно. Например, определить являются ли следующие функции четными или нечетными:

Sin (x), если х ³0 Соs(x/2), если х ³ p

f(x)= f(x)= p2 + х2, если -p < х < p

Соs(x), если х<0 Соs(x/2), если х £ p

4) Монотонность.

При рассмотрении свойства монотонности тригонометрических функций в большинстве действующих учебников (кроме [11]) не приводится четкого доказательства возрастания функций y=sin x и y=соs x на промежутках [-p/2;p/2] и [-p;0] соответственно, а обоснование этих фактов проводится с опорой на числовую окружность: «При движении точки по четвертой и по первой четвертям окружности в положительном направлении ( от -p/2 до p/2 ) ее ордината постепенно увеличивается (от -1 до 1), значит функция y=sin x является возрастающей на этом промежутке» (см. [16]). Более строгое доказательство этого факта приводится с опорой на формулу разности синусов и применимо в случае, когда тригонометрические преобразования изучаются раньше тригонометрических функций, то есть когда формула разности синусов к моменту исследования тригонометрических функций является уже известной (см. [11]). «Пусть

-p/2 £ х1 < х2 £ p/2,

применяя формулу разности синусов находим

sin х2 - sin х1 = 2 соs [(х1 +х2)/2]*sin [(х2 – х1)/2].

Из неравенства -p/2 £ х1 < х2 £ p/2 следует, что

-p/2 < (х1 + х2)/2 < p/2 и 0 < (х2 – х1)/2< p/2,

поэтому соs(х1+х2)/2 > 0 и sin(х2-х1)/2 > 0, а следовательно, sin х2 - sin х1> 0 то есть sin х2 > sin х1»(см. [11]). При этом учителю следует обратить внимание на пояснение того, как из неравенства -p/2 £ х1 < х2 £ p/2 получаются неравенства -p/2 < (х1+х2)/2 < p/2 и 0 < (х2–х1 )/2 < p/2.

Это целесообразно проиллюстрировать, изобразив отрезок [-p/2;p/2]. Заметим, что (х1+х2)/2 не что иное, как среднее арифметическое чисел х1 и х2, а, следовательно, принадлежит отрезку [х1;х2], который, в свою очередь, целиком лежит в отрезке [-p/2;p/2], то есть первое неравенство имеет место. Гораздо большую трудность вызывает обоснование второго неравенства. Заметим, что модуль разности |х2-х1| - это расстояние между точками х1 и х2, а так как обе точки принадлежат одному отрезку [-p/2;p/2], то расстояние между ними не может превышать длины этого отрезка, то есть p. С другой стороны модуль – функция неотрицательная, более того, в данном случае положительная, так как х1 и х2 различны. Имеем 0 < |х2-х1| £ p, но так как х1 < х2, то |х2-х1| = (х2-х1). Разделив все части неравенства на 2, получим доказываемое неравенство.

Доказательство возрастания функции y=tg x на интервале (-p/2;p/2), целесообразнее всего проводить аналогичным образом, используя формулу разности тангенсов (см [11]). В случае же, когда преподавание ведется по учебникам, в которых тригонометрические преобразования изучаются после функций, то есть формула разности тангенсов к моменту исследования функций еще не известна, доказательство лучше проводить, разбив интервал (-p/2;p/2) на два полуинтервала [0;p/2) и (-p/2;0]. Обоснование возрастания функции y=tg x на полуинтервале [0;p/2) не сложно и приведено во всех учебниках, а доказательство монотонности на втором интервале авторы учебников [16] и [2] почему-то считают сложным и опускают вовсе. Поэтому учителю следует обратиться к учебнику [3], в котором дано довольно строгое, но вместе с тем несложное доказательство:

Пусть -p/2 < х1 < х2 £ 0, тогда 0 £ -х2 < -х1 < p/2. Теперь числа -х1 и -х2 лежат в первой четверти, в которой тангенс возрастает, следовательно tg(-х2 )< tg(-х1). Так как y=tg x нечетная функция, то

tg(-х2 ) < tg(-х1) Û -tg (х2 ) < - tg(х1),

а следовательно tg(х1) < tg(х2). Что и означает, что функция y=tg x возрастает на промежутке (-p/2;0], а значит и на интервале (-p/2;p/2). Доказательство монотонности функции y=сtg x целесообразно предложить в качестве задания для самостоятельного выполнения.

5) Нули функции и промежутки знакопостоянства.

Нахождение нулей функций и промежутков знакопостоянства сводится к решению простейших тригонометрических уравнений и неравенств, которые учащиеся рассматривали при изучении числовой окружности и не вызывает затруднений.

Тонкости педагогики:

Нравственная культура современного общества
Сегодняшнее общество на фоне общих кризисных явлений переживает, в том числе, и духовный кризис. В последние годы наблюдается заметное понижение уровня нормативной культуры в обществе: всё большее число различных явлений общественной жизни, ранее, безусловно, выходивших за рамки социально-нормативн ...

Развитие системы дидактических принципов
Собственно термин «дидактика», по-видимому, впервые ввел в начале XVII в. немецкий педагог Вольфганг Ратке, который назвал свои лекции «искусством преподавания». Сочетание терминов «преподавание», «обучение» и «искусство», введенное В. Ратке, оказалось на удивление точным и глубоким. Современник В. ...

Определение учебно-познавательной деятельности учащихся на уроке
Во время применения монологического метода деятельность учащихся исполнительская, заключающаяся в конспектировании материала. Во время применения алгоритмического метода деятельность учащихся исполнительская, частично репродуктивная заключающаяся в конспектировании и усваивании алгоритма решения за ...