Методика преподавания темы «Тригонометрические функции» в курсе алгебры и начал анализа

В изучении тригонометрических функций в школе можно выделить два основных этапа:

Первоначальное знакомство с тригонометрическими функциями углового аргумента в курсе геометрии (8-9 класс).

Систематизация и расширение знаний о тригонометрических функциях в курсе алгебры и начал анализа (10-11 класс ).

На первом этапе не доказывается и не уточняется, что изучаемые зависимости являются функциями. Изменение синуса и косинуса при изменении угла доказываются на основе свойств наклонной. Эти понятия достаточно абстрактны для курса геометрии, поэтому усваиваются довольно плохо. Но еще большие трудности вызывает переход к аргументу, большему 900. Ведь мы определяли тригонометрические функции через отношение сторон прямоугольного треугольника, а, как известно, в прямоугольном треугольнике не может быть угла с градусной мерой, большей 900. Для объяснения этого факта уже на этом этапе приходится рассматривать окружность, и это является своеобразной пропедевтической работой для введения тригонометрических функций числового аргумента с помощью окружности в курсе алгебры и начал анализа.

На втором этапе происходит переход от углового аргумента к числовому. С самого начала курса мы должны рассматривать тригонометрические функции углов любой величины – значит предварительно нужно познакомить учеников с углом как с величиной, способной изменятся от -¥ до +¥. В курсе геометрии такое понятие не фигурировало, следовательно, это необходимо восполнить на втором этапе. Таким образом, возникает необходимость введения числовой окружности, работу с которой целесообразно провести также на втором этапе.

В качестве пропедевтической работы для изучения модели числовой окружности желательно рассмотреть геометрические задачи на нахождение длины дуг четверти окружности данного радиуса, ее трети и половины. Обобщая полученные результаты, необходимо подвести учащихся к тому факту, что для дальнейшей работы выгоднее выбирать окружности именно единичного, а не произвольного радиуса.

В процессе работы с числовой окружностью у учащихся должны быть сформированы следующие умения:

находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженным в долях числа p и выраженным не в долях числа p;

составлять аналитические записи для дуг числовой окружности;

определять принадлежность точки какой-либо координатной четверти;

работать одновременно в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольно-декартовой и осуществлять переход от одной системы координат к другой;

находить координаты точек числовой окружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам;

Для этого целесообразно рассматривать задания следующих типов:

Найти на числовой окружности точки p/2, 9p, 26p/3, -5p/4, -7p/6…

Найти на числовой окружности точки 1, 2, -7, 4.5, -31 ….

Определить, каким четвертям принадлежат точки 21p/4, -37p/6, 10, -95.

Отметить на числовой окружности точки t, удовлетворяющие неравенствам: а) p/6+2pк £ t £ 2p/3+2pк, кÎZ

б) -p/3+2pк £ t £ 3p/4+2pк, кÎZ

Найти декартовы координаты точек, соответствующих числам p/4, -3p/2, 23p/6, -13p/3…

Найти положительные и отрицательные числа, которым соответствуют точки с координатами (1/2;Ö3/2), (-Ö2/2; Ö2/2); (Ö3/2; -1/2), (-1,0)….

Найти на числовой окружности точки с ординатами (абсциссами) равными -Ö3/2, 1/2, -Ö2/2, 0, -1, абсциссы (ординаты) которых отрицательны, и записать, каким числам они соответствуют.

Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой) > -Ö2/2 и записать, каким числам они соответствуют.

В процессе работы с числовой окружностью следует обратить внимание на следующие моменты.

В арсенале учителя должно находится как минимум два макета с числовыми окружностями. На первом из них отсчет ведется в положительном направлении с указанием расположения точек 0, p/6, p/4, p/3, p/2, 2p/3…. , на втором - в отрицательном с указанием точек -0, -p/6, -p/4, -p/3, -p/2, -2p/3…., причем второй макет желательно вывесить после того, как учащиеся ответят или попытаются ответить на вопрос: «Что будет, если точка будет двигаться не положительном, а в отрицательном направлении?».

Эта мотивационная задача позволяет еще раз провести связь между числовой окружностью и числовой прямой. Ведь на числовой прямой можно было откладывать не только положительные, но и отрицательные значения, причем сколь угодно большие. На числовой окружности можно делать то же самое, но следует учитывать тот факт, что на прямой соответствие между точками и числами взаимно-однозначное, а на окружности у каждой точки бесконечно много имен, отличающихся друг от друга на 2pк, где кÎZ.

Это главное отличие учащиеся должны четко понимать и осознавать. Для этого числовую окружность можно сравнить с колесом, а числовую прямую с бесконечной нитью, на которой отмечены точки. Наматывая нитку на колесо, предварительно совместив соответствующие нулевые точки, можно заметить, что точки, отличающиеся на 2p, попадут в одно и тоже место на колесе, благодаря тому, что длина числовой окружности единичного радиуса составляет именно 2p.

Тонкости педагогики:

Определение моторной алалии
Наиболее распространенной формой алалии является алалия, связанная с нарушением речедвигательного анализатора. "Моторная алалия - это системное недоразвитие экспрессивной речи центрального органического характера, обусловленное несформированностью языковых операций процесса порождения речевых ...

Диагностика воспитания детей в опекунских семьях с религиозно-сектантскими установками
1. Опросник "Отношение приемных родителей к субъектам педагогической деятельности" (Е. Клепцова). На вопросы родители-опекуны отвечали вместе. Результаты опросника мы оформили в таблице 1. Таблица 1 Семья опекунов Средний балл 1. Семья Соболевых 13 2. Семья Корзун 10 3. Семья Золотаревых ...

Общественно-политическое воспитание учащихся: трудности и нерешенные проблемы
В изучаемый период в условиях тоталитаризма, диктата КПСС, командно-бюрократической системы, когда такие явления, как социальное лицемерие, разрыв слова и дела, игнорирование интересов личности, прочно утвердились в социально-политической жизни советского общества, воспитательный процесс подвергалс ...