Анализ изложения темы «Тригонометрические функции» в различных школьных учебниках

Используя свойство нечетности синуса, полученный график отображается относительно начала координат на отрезок [-p;0], используя свойство периодичности, график функции достраивается на остальных отрезках длиной 2p. С опорой на построенный график, выделяется свойство непрерывности функции синус и область ее значений. Исследование функции cos х и построение ее графика как и во всех остальных учебниках основывается на том факте, что cos х = sin (х+p/2).

В учебнике [3] построение синусоиды происходит при помощи единичной окружности переносом значения синуса к соответствующим точкам оси ОХ. А затем, после построения графика, еще раз происходит возвращение к свойствам и к тому, как они проявляются на графике. В учебнике [11] синусоида строится подобно тому, как она строится в [3], но все свойства функций за исключением области определения и множества значений рассматриваются в следующей теме «Основные свойства функций», а затем только переносятся на тригонометрические.

Отметим, что в учебниках [16] и [11] не обоснован тот факт, что областью определения функций sin и cos является множество всех действительных чисел. Конечно, этот факт достаточно очевиден, но тем не менее учебник пишется не для учителя, а для учеников, а «мера очевидности», как известно, у всех разная. Поэтому не стоит забывать об обосновании даже очевидных фактов, ведь это приучает ребят к столь необходимой при изучении математики логической четкости и аккуратности мысли.

Что касается области значений тригонометрический функций, то ни в одном из учебников нет четкого обоснования данного свойства. Все «попытки» обоснования этого свойства сводятся к рассмотрению двойных неравенств: -1 £ sin х £ 1 и -1 £ соs х £ 1, которые выполняются для всех значений х. Однако, отсюда совершенно не следует то, что в область значений данных функций входят все точки отрезка [-1;1].*

При обосновании свойств четности и нечетности тригонометрических функций доказательство тождества sin(-х) = -sin(х) сводится в основном к симметричности точек х и –х, которая также четко не обоснована ни в одном из учебников. *

Монотонность же тригонометрических функций во всех учебниках, за исключением [11], иллюстрируется с помощью числовой окружности. В учебнике [11] в силу того, что тригонометрические преобразования изучаются перед тригонометрическими функциями, монотонность функции у= sin(х) обоснована более доказательно, но все же некоторые недочеты имеются.

При изучении свойства периодичности авторы учебников [16], [2] и [11] дают следующее определение периодичности: «Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т¹0, что для любого х из области определения данной функции выполняется равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т называется периодом функции f(x)». В учебнике [3] равенство f(x-T)=f(x)=f(x+T) заменяется менее сильным равенством f(x)=f(x+T), но зато снимаются ограничения на х. Здесь х может быть любым, а не только из области определения. Заметим, что для функций, областью определения которых является все множество R, эти два определения будут не только равносильными, но и одинаково корректными (см. [23] (стр. 108 №145)). Но если применять второе определение к функции у=sinÖх, то у учащихся может вызвать затруднения сравнение значений данной функции в точках, например, -p и p. Поэтому более целесообразным является использование первого определения.

Проанализируем теперь системы задач, направленные на отработку умений и навыков, которые предусмотрены программой по теме «Тригонометрические функции».

Тонкости педагогики:

Одаренные дети: методика диагностики
Мозг человека с его способностью к мышлению, творчеству может рассматриваться как величайший из даров природы, и в этом смысле «одаренность» представляется уже не как исключительность, а как имеющийся у каждого «дар». В педагогике же с понятием «одаренность» следует связывать, по меньшей мере, две ...

Организация опытно-экспериментальной работы
Каждый учитель, приходя в класс, стремится сформировать у младших школьников интерес к чтению книг и умение читать самостоятельно, но не всегда и не всем это удаётся. Основные причины неэффективности обучения чтению состоят в том, что в школе нет детских книг. Да и методика обучения чтению не нацел ...

Организация образовательной формы
Базовым процессом в Интенсивной Школе Развития является решение особого типа задачи (в данном тексте Задачи с заглавной буквы). На последней прошедшей Школе базовая Задача имела следующую формулировку: «Описать образ жизни такой, что каждая жизненная ситуация имеет шанс стать произведением искусств ...